T(n) = a * T(n / b) + f(n)
x    = log_b(a)
T(n) = θ(n^x)          if f(n) = O(n^(x-ε))
       θ(n^x * lg(n))  if f(n) = θ(n^x)
       θ(f(n))         if f(n) = Ω(n^(x+ε)) 
                          and a * f(n/b) <= c * f(n)

Greedy

• At each step, make the "best" next choice.
• Never backtrack or change past choices.
• Never look ahead to see if this choice has negative consequences.

Greedy Proof, Type 1

1. Describe a greedy local choice strategy
2. Setup the configurations of the greedy solution G and the optimal solution O
3. Argue that O can become G by replacing each entry in O
   For each replacement, show it is possible, because it consist the compatibilty and optimality The last two step involves induction

• In basecase, focusing on how the first greedy choice can be used in an optimal solution
• During induction,
  assume the first k choices in an optimal solution are made by the greedy algorithm, show that the k+1 choice can be made by the greedy algorithm as well

Greedy Proof, Type 2

1. Describe a greedy local choice strategy
2. Setup the configurations of the greedy solution G and the optimal solution O
3. Find out the difference between O and G
4. Try to reorder O to G and consists the optimality

Dynamic Programming

Dynamic Programming calculates a solution based on the result of a previous calculation. It saves the previous result so that no duplicate calculation needed. Dynamic Programming Design Recipe

1. Find out the subproblem
   
   
   • give a score evaluation function
   • give a recursive difinition
2. State how an array can be used to evaluate the scores
   
   
   • dimension
   • evaluation order
   • basecase
   • final result
3. How to recover the solution

Graph

Representations of Graphs

• Pointers
  
  
  • vertices have pointers to adjacent vertices
  • Cannot determine whether an edge exists directly
• Adjacency matrix
  
  
  • A matrix M, M[i, j] = 1 iff exists edge from i to j
  • waste a lot of space
• Adjacency lists
  
  
  • Link-list like representation

继续ing...

Run-Length Encoding (RLE)

• 第一位表示由0或者1开头
• 之后用prefix-free integer encoding表示每一个Run的长度
  • 后x位表示这个run的binary长度
  • 前x-1位填零, 为unary表示后x位的长度减一

Huffman Coding

• 用binary trie表示字典中的所有字符
• 将文本依照trie转成binary

• 将每个字符存入独立的trie中
• 确定每个字符的出现次数(频率), 一个trie的比重(weight)即为trie中字符的频率和
• 将weight最小的两个trie合并成一个新trie
• 重复上一步直到只剩下一个trie

MTF

• 用字典中, 字符的index表示字符
• 使用动态字典, 将出现过的字符移到字典开头, 以减小下次出现时该字符的index值
• MTF本身不能达到压缩的目的, 需配合prefix-free integer encoding或者huffman

LZW

• 字典编码使用固定长度k, 字典总共有2^k个entry
• 字典由所有单字符开头, 剩余entry留空
• 从第二个encode的字符[组]开始, 将其首字符与上一个encode的字符[组], 组成一个新的字符组, 并存入字典中
• 当这个字符组合再次出现的时候, 即可用一个编码代表整个字符组

BWT

• 将整个string S写成各种cyclic shift, 用$表示string结尾
• 比如abcd$可以写成abcd$, bcd$a, cd$ab, d$abc, $abcd
• 将所有cyclic shift排序
• 将排序后的所有cyclic shift的最后一位按顺序组合成新的string, 既是Encoded的string C

• 给Encoded的string C的每一个字符一个序号, 从0到n-1
• 将字符和序号一起排序. 排序后的序号提取为Array N
• for(i = N[N[0]], i != N[0], i = N[i]) print(C[i]);

单词查找树 Tries (Radix Tree):

• 
• 左0右1
• item只存在leaf上
• Prefix-free: 任意一个key不能有其他key是他的前缀(比如: 1101和11011不能共存)
• Search: 逐位执行BS
• Insert: 逐位执行BS
• 如果找到某leaf与insert的item不等, insert fail. (现存item是新item的prefix)
• 如果在某个node搜索结束, insert fail. (新item是其他key的prefix)

• 如果无路可走了, 开路出来.

• Delete: Search到对应item以后, 删除这个leaf以及其他无用的node.

Compressed Tries (Patricia Tries):

• 
• 相比普通Tries, compressed tries去除了额外的node(只有一个child的node). 其他基本相同.

• 每个node中增加了下一层Search中, 需要检测的位数

Multiway Tries:

• 
• 以特定alphabet集合为基础, 建立的Tries
• 通过$ sigh以允许prefix存在
• 不是Binary Tree
• 同样可以compress, 与Compressed Tries方法相同

String Matching 要match的string为T, pattern为P

Brute-force Algorithm

1. 从前往后依次比对P的首字母
2. 如发现与首字母匹配, 则继续比对剩下的字符直到P结尾
3. 如P未结尾时出现不匹配, 则回到与首字母匹配位置的下一个, 继续比对首字母

4. 如T结尾, 则无匹配

Boyer-Moore Algorithm

1. 将T和P右对齐
2. 从P的结尾开始, 依次向前与T比对
3. 如遇到不匹配, 检查T该位置的字符是否在P中出现过
   
   
   • 如出现过, 则将该字符在P中最后出现的位置, 与T对齐
   • 如没出现过, 则讲P向后shift一个P的长度
   • 重复第二步

4. 如T结尾, 则无匹配

KMP Algorithm

1. 建立KMP Failure Array 位于j点的F(j)值等于P[1..j]的结尾与P的开头所重叠的字符位数
2. 将T和P左对齐
3. 从P的开头开始, 依次向后与T比对
4. 如遇到P[i]不匹配, P向后shift[i - F(i-1)]位, 且 i 值assign为F(i-1)

5. 如T结尾, 则无匹配

Suffix Tree (Trie) 与前几个Algorithm相反, 此Algorithm是为了在同一个T中寻找不同P而建立的.

Post-condition: T长度为n, i值为从0到n-1
1. 将所有T[i..n]依次insert进Compressed trie
2. 因为Compressed trie的性质 (prefix-free), 如果某一个T[i..n]是已有node的prefix, 则不会被insert
3. 每个node和leaf中, 保存对应的i和n值
4. 在Compressed trie中搜索, 将P与每个node进行比对. (长度以P为准)
5. 如果遇到node长度小于P长度, 则无匹配.

= =`最后一个Module后天再说...每天都看Algorithm会死人的`明天收拾251

更多CS 240总结请看: http://blog.gregwym.info/tag/cs240/

Assignment 5, 泥玛那个是什么脑残傻缺的ADT啊`! 放着Slide里这么好的三种ADT你不用啊`!!! 你跑去弄什么x-min-heap外加y-BST, 还弄个好听的名字叫Heap-tree`!!! 泥玛就是个残废啊`有木有有木有~!!! 不光残废啊, 是连TA自己都搞不懂到底该怎么用啊`!!! 连"You can slightly break the heap proerty"都说出来了...这种东西随便写写就让他过去吧`!!!!! 以后做工程真的用, 程序怎么死的都不知道啊`!!!

我们日常生活中的很多数据并不是一对一的KVP (不懂KVP的请去看, 总结四 - BST篇).
拿Slide里的例子来说, 买一台电脑, 不光要看它的CPU是什么型号, 还要看内存多大, 硬盘多大, 显卡怎么样, 价钱多少, etc. 这样的数据都是一个key对多个value.

这种情况下, 如果我需要找一台CPU 2.2GHz以上+内存4G-8G的电脑, 就需要从我的data中进行Range Search Query, 而且是2D的Range Search. 如果我在这个条件上再+要至少3T硬盘存xx...那就是3D的Range Search了.

Quadtree

1. 将所有数据放在一个平面空间里 (咱们想象力能及的只有2D和3D空间, 这里以2D举例)
2. 将整个平面以对边中点的连线为基准, 切两刀分成四份 (3D空间的话, 需要多切一刀...)
3. 针对每一个切出来的平面重复上一步, 直到这个平面内只有一个item为止

• Search和BST一样, 不解释
• Insert就一个规则, 只要不是单身汉, 别管他3p还是5p, 都要给他们拆散! 直到新item有单间为止
• Delete就是insert相反, 先把item赶走, 然后把单间拆掉
• 优点: 简单, 拆两半两半两半再两半就ok了; 对higher dimensions也很容易implementl;
• 缺点: 占用空间大; 如果数据分布不平均, Tree就会unbalanced, height就会变得很恐怖;

Kd-tree

1. 将item以x-coordinate排序, 画一条过median点的纵线(vertical) (同样以2D举例)
2. 对第1步切分出来的两个平面, 分别以y-coordinate排序, 然后过median画一条横线(horizontal)
3. 对第2步切分出来的平面(们)...重复第一步
4. 如果某一步切分出的某个平面内只有一个item, 则停止.

• 此法解决了Quadtree会unbalanced的问题, 其他一样.
• 与Quadtree相同, 所有item都只存在于leaf中

Range Tree

1. 以x-coordinate为基准建立balanced BST T (同样以2D举例)
2. 针对T中的每一个node v_i, 用v_i及其所有children建立以y-coordinate为基准的T_assoc(v_i)
3. 将v_i链接到T_assoc(v_i)

• 也就是说, Range Tree第一层的每一个subtree背后, 都有一个以y-coordinate排序的另一个BST
• 如果是higher dimensions的话, 则要多几层associated BST嵌套
• Search
  
  • 用x-coordinate进行BST Search
  • 对所有inside node的顶部(root of the subtree)的T_assoc, 执行y-coordinate的BST Search
  • 对所有不确定的边缘node (卡在指定range的边上), 逐一进行单独判断
• Insert
  
  • 依照x-coordinate进行BST insertion
  • 从最终insert的位置, travel回root. 并将item insert到途经的所有node的T_assoc中
• Delete和Insert相反
• 缺点: balance难度较大.

插值查找法 Interpolation Search

• 
• 在已知Array A大小的前提下, 假设A中的数据呈线性排列
• 用比例推测所查找值 K, 可能存在的Index I
  I = I_low + (I_upper - I_low)(K - K_low) / (K_upper - K_low)
• 如果A中的数据分布比较平均, 此法效率比BS高
• 否则相反
• 更详细的解释, 可参考: 【演算】內插搜尋法 - Interpolation Search

Gallop Search

• 先推测出K所在的范围, 然后执行BS
• 适用于数据量大的搜索. 通过减小BS的搜索范围, 优化性能.

跳跃列表 Skip Lists (我觉得最有意思的数据结构)

• 整个表以多层表的形式出现, 每层均包含"极小"和"极大"两个item
• 每个item拥有一个随机的height值
• 最顶层只包含两个极值, 层数越低, 包含的item越多, 直到底层.
• Search方式
  • 从顶层起
  • 如果该层中的下一项item大于K, 则落入下一层
  • 否则继续在该层向后查找
• 

针对访问概率进行的优化

自排序搜索 Self-Organizing Search

• 如果我们知道某一系列数据中, 每一个item可能被访问的概率
• 依照每一项的概率对数据进行排序, 优化高概率item的访问效率
• 如果不知道可能的访问概率, 则需要...

动态排序 Dynamic Ordering

• 方法一: Move-To-Front(MTF)
  
  • 将每次搜索到的item移到最前
  • 近期内再搜索此item的时候, 效率会提高
• 方法二: Transpose
  
  • 将每次搜索到的item与其前一项互换
  • 多次访问同一item以后, 该item的排序会提前很多, 访问效率会提高

Direct Addressing

• key和地址直接对应
• 与Counting Sort同理
• Runtime: Θ(1), Space: Θ(n)
• 浪费空间, 且只能用于int

Hashing

Hash Function

• 将key经过function运算以后, 得到对应的hash value
• Hash function的好坏决定于数据的性质, 不同的数据适用不同的function
• 好的Hash funtion, 高效, 与数据规律无关联, 依赖于key的所有部分

冲突解决方案(Collision Resolution)
Basic concept:

• Buckets: 多个item共存
• Open Addressing: 一个item对应多个位置
• Load Balance: α = n/M (n: item数量, M: hash table大小)

方案一: Chaining (Buckets)

• 将新的item放入对应位置, 并link到原来位置所存放的item
• 缺点: 大量数据会导致大量重复, 效率降低

方案二: Linear Probing

• 如果要insert的位置非空, 则将item放入下一个位置. 重复这一条直到insert成功/回到原位置(insert失败)
• 某个item被delete以后, 该位置须标记为deleted, 不能再使用
• 缺点: 大量数据后会有明显的效率降低, deleted以后会有空间浪费, 增加M以后rehash可以解决部分问题, 但cost很高.

方案三: Double Hashing

• 在Linear Probing基础上增加一个与h1独立的functions h2.
• 如果要insert的位置非空, hash value = [原hash value + h2(k)] % M. 重复这一条直到insert成功/回到原位置(insert失败)
• 缺点: 与Linear Probing相同, 只是increment由1变为了h2的结果, 所以降低了第二次insert的失败概率.

方案四: Cuckoo Hasing

1. 有两个相互独立的hash functions, h1和h2
2. 将item insert到h1(k)中
3. 如果原来h1(k)的位置并不为空, 将原item重新insert到与h1(k)值不同的hash value中去
4. 如出现loop的情况, insert失败, rehash

• 优点: iterm只能出现在h1(k)或者h2(k)中, search效率高.

• BST基础性质
• 左侧和右侧subtree的height最多差1
• 空白Tree的高度为-1
• Search, Insert, Delete Runtime均为Θ(log n)

1. 执行标准BST Insertion
2. 从新insert的leaf开始, 从下往上更新balance factor(左右高度差)
3. 如发现高度差超过1(即为2), 则执行fix

• Single rotation: 当height最高的leaf位于最左侧/最右侧
  
  • 将subtree的root Z向height较低的方向旋转, 即以height较高的child Y为root
  • Y原内侧child, 并入Z内侧
  
  
• Double rotation: 当height最高的leaf位于Tree内侧
  
  • 将height较高的root child向外侧旋转, 将Tree变形为Single rotation的初始形式
  • 执行Single rotation
  
  

2-3 Tree性质:

• BST基础性质
• 每个node包含一个KVP*和两个children, 或者包含两个KVP和三个children.
• 所有leaf都在同一层(level)

2-3 Tree Insertion:

1. 找到KVP应在的leaf (BST规则)
2. 如果该leaf已经饱和 (已经包含两个KVP), 则将3个KVP排序a < b < c.
3. 将a和c分割成两个单独的leaf, 并将b插入到parent中.
4. 重复第2步直到符合2-3 Tree所有性质

2-3 Tree Deletion: 删除x

1. 如果x所在的node有两个KVP, 则直接删除x
2. 如果同parent下, 与该node相邻的child有两个KVP, 则用node与child之间的parent替代x, 并用中间值替代parent
3. 否则 (同parent下, node相邻child均只有一个KVP), 将相邻child与parent(中间值)合并. 重复直到Tree符合要求.

B-Tree性质:

• 扩展版的2-3 Tree
• 每个node包含最多2d个KVP
• 非root的node最少包含d个KVP
• 2-3 Tree的d = 1

Insertion和Deletion与2-3 Tree大同小异

注: 此B-Tree定义不完全符合11W Slide

最优Runtime为Ω(n log n)

QuickSelect

用QuickSort algorithm快速查找第k大的数 (avg rumtime: Θ(n))

组成函数

• choose-pivot(A) 在数据中选择其中一个作为pivot
• partition(A, p) 使用A[p]作为pivot, 将A中的数据分为
  
  
  • 所有小于等于pivot的数据
  • pivot本身
  • 所有大于pivot的数据

Implementation

下载: quickselect.cc

void swap(int *A, int i, int j){ 
    int temp; 
    temp = A[i]; 
    A[i] = A[j]; 
    A[j] = temp; 
    return; 
}

• partition(A, p)
  思路: 逐次将最外侧的一对不符合partition规则的item对调

  
  
  

   int partition(int *A, int p, int n){ 
       swap(A, 0, p); 
       int i = 1, j = n - 1; 
       while(i <= j){ 
           while(A[i] <= A[0] && i < n) i++; 
           while(A[j] > A[0] && j > 0) j--; 
           if(i <= j) swap(A, i, j); 
       } 
       swap(A, 0, j); 
       return j; 
   } 
  

• quick-select(A, k)
  思路: 以partition分组数据以后, 判断第k大的数所在的分组, 然后recall其本身, 达到持续缩小搜索范围的目的

  
  
  

  int quickSelect(int *A, int k, int n){ 
      int p = 0; 
      int i = partition(A, p, n); 
      if(i == k) return A[i]; 
      else if(i > k) return quickSelect(A, k, i); 
      else if(i < k) return quickSelect(A+i+1, k-i-1, n-i-1); 
      return -1; 
  }
  

• choose-pivot(A)
  思路1: 永远取第一个item为pivot
  思路2: 取从0到n-1之间的随机数为pivot

QuickSort

快速排序(分治法)
avg rumtime: Θ(n log n)

• 结构与QuickSelect基本相同

• 区别: 需要对partition分出的两组数据都进行排序

  
  
  

   void quickSort(int *A, int n){ 
       if(n <= 1) return; 
       int p = 0; 
       int i = partition(A, p, n); 
       quickSort(A, i); 
       quickSort(A + i + 1, n - i - 1);
   } 
  

Non-comparison-based sorting

最优Runtime为O(n)

Counting Sort

前提: Array A包含n个数据, 数据的最大值小于k

思路:

• 建立一个大小为k的空白Array C, 填零.
• 将从0到k, 每一个数字在 A 出现的次数, 填到 C 对应的index中
• 从1到k, 将 C 中的数字逐次累加 C[i] = C[i] + C[i - 1]
• 则C[i]为任意A[x] == i, 在排序后应该在的index

Runtime: O(n)
Space: Θ(k)

下载: countingsort.cc

void countingSort(int *A, int k, int n){ 
    int i, B[n], C[k]; 
    for(i = 0; i < n; i++){ 
        C[A[i]]++; 
        B[i] = A[i]; 
    } 
    for(i = 1; i < k; i++) C[i] = C[i] + C[i-1]; 
    for(i = n-1; i >= 0; i--){ 
        C[B[i]]--; 
        A[C[B[i]]] = B[i]; 
    } 
    return; 
}

Radix sort

前提: Array A包含的数据均可拆分成d个片段x_d-1x_d-2… x, 且任一片段x_i满足0 <= x_i < k
例如: 十进制数的每一位都是0 <= x_i < 9的单位数字
思路: 以每一个x_i为基准 (从0到d - 1), 运行counting sort.

Runtime: Θ(d(n+k))
Space: Θ(n+k)

注: 如果以从d-1到0的顺序执行, 则是以最低位为基准(LSD). 正常是以最高位为基准(MSD).

更新1: 各种Sorting Algorithm的动画演示http://jsdo.it/norahiko/oxIy/fullscreen
更新2: 修正了partition中的bug

更多CS 240总结请看: http://blog.gregwym.info/tag/cs240/

• insert: 在Queue中加入一个带有对应优先级的item
• deleteMax: 移除优先级最高的item (此操作仅适用于maximum-oriented priority queue)
• deleteMin: 移除优先级最低的item (此操作仅适用于minimum-oriented priority queue)

三种Implementation:

1. 无序array (selection sort)
   
   
   • insert: O(1)
   • delete: O(n)
2. 有序array (insertion sort)
   
   
   • insert: O(n)
   • delete: O(1)
3. Heap (一种BST)
   
   
   • insert: O(log n)
   • delete: O(log n)

Heap的性质:

1. 从上到下, 从左到右, 必须在一层(level)填满以后再使用下一层
2. parent的优先级必须大于等于(小于等于 for min-heap)其children的优先级
3. Heap的高度是Θ(log n)

Heap Insertion:

• 将新item放入第一个空闲的位置 (参考heap的第一条性质)

• 对其执行bubble-up, 直到符合所有heap性质
  #bubble-up:

  
  
  

  while [parent(v) exists and key(parent(v)) < key(v)] do 
      swap v and parent(v) v <- parent(v)
  

Heap deleteMax/Min:

• 用heap中的最后一个item取代root

• 对其执行bubble-down, 直到符合所有heap性质

  
  
  

  bubble-down

  
  
  

  while [v is not a leaf] do 
      u <- child of v with largest key 
      if key(u) > key(v) then 
          swap v and u v <- u 
      else 
          break
  

Heap array的特点 (当前item的位置为i):

• Left child位于2i+1
• Right child位于2i+2
• Parent位于floor[(i-1)/2]

建立heap的两种方法:

• 以空heap为起始, 逐个item执行insert
• 以含有n个item的array为起始, 从index为floor[(n-1)/2]的item开始, 逐个执行bubble-down, 直到index 0

注: 使用第二种方法建立heap, 然后执行k次deleteMax/Min, 可快速查找array中第k大的iterm. 运行时间为Θ(n + k log n)

其他方法请参考: 找数组/VECTOR内第K大的数

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• Big-O 表示当c和n0在达到一定大小以后, runtime小于等于某一数级[g(x)]
• Little-O (与Big-O对应) 表示当c和n0为任意值时, runtime一定小于某一数级[g(x)]
• Ω 表示当c和n0达到一定大小以后, runtime大于等于某一数级[g(x)]
• ω (与Ω对应) 表示c和n0为任意值时, runtime一定大于某一数级[g(x)]
• Θ 为同时满足Big-O和Ω

• Logarithmic (log n)
• Linear (n)
• Linearithmic (n log n)
• Quadratic (n^2)
• Cubic (n^3)
• Exponential (2^n)