Master Theorem

T(n) = a * T(n / b) + f(n)
x    = log_b(a)
T(n) = θ(n^x)          if f(n) = O(n^(x-ε))
       θ(n^x * lg(n))  if f(n) = θ(n^x)
       θ(f(n))         if f(n) = Ω(n^(x+ε)) 
                          and a * f(n/b) <= c * f(n)

Greedy

• At each step, make the "best" next choice.
• Never backtrack or change past choices.
• Never look ahead to see if this choice has negative consequences.

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概念就不说了, 啥压缩比啊, logical/Physical compression, Lossy/Lossless的.

Run-Length Encoding (RLE)

• 第一位表示由0或者1开头
• 之后用prefix-free integer encoding表示每一个Run的长度
  • 后x位表示这个run的binary长度
  • 前x-1位填零, 为unary表示后x位的长度减一

Huffman Coding

• 用binary trie表示字典中的所有字符
• 将文本依照trie转成binary

• 将每个字符存入独立的trie中
• 确定每个字符的出现次数(频率), 一个trie的比重(weight)即为trie中字符的频率和
• 将weight最小的两个trie合并成一个新trie
• 重复上一步直到只剩下一个trie

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Tries

单词查找树 Tries (Radix Tree):

• 
• 左0右1
• item只存在leaf上
• Prefix-free: 任意一个key不能有其他key是他的前缀(比如: 1101和11011不能共存)
• Search: 逐位执行BS
• Insert: 逐位执行BS
• 如果找到某leaf与insert的item不等, insert fail. (现存item是新item的prefix)
• 如果在某个node搜索结束, insert fail. (新item是其他key的prefix)

• 如果无路可走了, 开路出来.

• Delete: Search到对应item以后, 删除这个leaf以及其他无用的node.

Compressed Tries (Patricia Tries):

• 
• 相比普通Tries, compressed tries去除了额外的node(只有一个child的node). 其他基本相同.

• 每个node中增加了下一层Search中, 需要检测的位数

Multiway Tries:

• 
• 以特定alphabet集合为基础, 建立的Tries
• 通过$ sigh以允许prefix存在
• 不是Binary Tree
• 同样可以compress, 与Compressed Tries方法相同

String Matching 要match的string为T, pattern为P

Brute-force Algorithm

1. 从前往后依次比对P的首字母
2. 如发现与首字母匹配, 则继续比对剩下的字符直到P结尾
3. 如P未结尾时出现不匹配, 则回到与首字母匹配位置的下一个, 继续比对首字母

4. 如T结尾, 则无匹配

Boyer-Moore Algorithm

1. 将T和P右对齐
2. 从P的结尾开始, 依次向前与T比对
3. 如遇到不匹配, 检查T该位置的字符是否在P中出现过
   
   
   • 如出现过, 则将该字符在P中最后出现的位置, 与T对齐
   • 如没出现过, 则讲P向后shift一个P的长度
   • 重复第二步

4. 如T结尾, 则无匹配

KMP Algorithm

1. 建立KMP Failure Array 位于j点的F(j)值等于P[1..j]的结尾与P的开头所重叠的字符位数
2. 将T和P左对齐
3. 从P的开头开始, 依次向后与T比对
4. 如遇到P[i]不匹配, P向后shift[i - F(i-1)]位, 且 i 值assign为F(i-1)

5. 如T结尾, 则无匹配

Suffix Tree (Trie) 与前几个Algorithm相反, 此Algorithm是为了在同一个T中寻找不同P而建立的.

Post-condition: T长度为n, i值为从0到n-1
1. 将所有T[i..n]依次insert进Compressed trie
2. 因为Compressed trie的性质 (prefix-free), 如果某一个T[i..n]是已有node的prefix, 则不会被insert
3. 每个node和leaf中, 保存对应的i和n值
4. 在Compressed trie中搜索, 将P与每个node进行比对. (长度以P为准)
5. 如果遇到node长度小于P长度, 则无匹配.

= =`最后一个Module后天再说...每天都看Algorithm会死人的`明天收拾251

更多CS 240总结请看: http://blog.gregwym.info/tag/cs240/

在我总结这个Module之前允许我吐槽一下...`

Assignment 5, 泥玛那个是什么脑残傻缺的ADT啊`! 放着Slide里这么好的三种ADT你不用啊`!!! 你跑去弄什么x-min-heap外加y-BST, 还弄个好听的名字叫Heap-tree`!!! 泥玛就是个残废啊`有木有有木有~!!! 不光残废啊, 是连TA自己都搞不懂到底该怎么用啊`!!! 连"You can slightly break the heap proerty"都说出来了...这种东西随便写写就让他过去吧`!!!!! 以后做工程真的用, 程序怎么死的都不知道啊`!!!

我们日常生活中的很多数据并不是一对一的KVP (不懂KVP的请去看, 总结四 - BST篇).
拿Slide里的例子来说, 买一台电脑, 不光要看它的CPU是什么型号, 还要看内存多大, 硬盘多大, 显卡怎么样, 价钱多少, etc. 这样的数据都是一个key对多个value.

这种情况下, 如果我需要找一台CPU 2.2GHz以上+内存4G-8G的电脑, 就需要从我的data中进行Range Search Query, 而且是2D的Range Search. 如果我在这个条件上再+要至少3T硬盘存xx...那就是3D的Range Search了.

Quadtree

1. 将所有数据放在一个平面空间里 (咱们想象力能及的只有2D和3D空间, 这里以2D举例)
2. 将整个平面以对边中点的连线为基准, 切两刀分成四份 (3D空间的话, 需要多切一刀...)
3. 针对每一个切出来的平面重复上一步, 直到这个平面内只有一个item为止

• Search和BST一样, 不解释
• Insert就一个规则, 只要不是单身汉, 别管他3p还是5p, 都要给他们拆散! 直到新item有单间为止
• Delete就是insert相反, 先把item赶走, 然后把单间拆掉
• 优点: 简单, 拆两半两半两半再两半就ok了; 对higher dimensions也很容易implementl;
• 缺点: 占用空间大; 如果数据分布不平均, Tree就会unbalanced, height就会变得很恐怖;

Kd-tree

1. 将item以x-coordinate排序, 画一条过median点的纵线(vertical) (同样以2D举例)
2. 对第1步切分出来的两个平面, 分别以y-coordinate排序, 然后过median画一条横线(horizontal)
3. 对第2步切分出来的平面(们)...重复第一步
4. 如果某一步切分出的某个平面内只有一个item, 则停止.

• 此法解决了Quadtree会unbalanced的问题, 其他一样.
• 与Quadtree相同, 所有item都只存在于leaf中

Range Tree

1. 以x-coordinate为基准建立balanced BST T (同样以2D举例)
2. 针对T中的每一个node v_i, 用v_i及其所有children建立以y-coordinate为基准的T_assoc(v_i)
3. 将v_i链接到T_assoc(v_i)

• 也就是说, Range Tree第一层的每一个subtree背后, 都有一个以y-coordinate排序的另一个BST
• 如果是higher dimensions的话, 则要多几层associated BST嵌套
• Search
  
  • 用x-coordinate进行BST Search
  • 对所有inside node的顶部(root of the subtree)的T_assoc, 执行y-coordinate的BST Search
  • 对所有不确定的边缘node (卡在指定range的边上), 逐一进行单独判断
• Insert
  
  • 依照x-coordinate进行BST insertion
  • 从最终insert的位置, travel回root. 并将item insert到途经的所有node的T_assoc中
• Delete和Insert相反
• 缺点: balance难度较大.

各种Binary Search的变种 (杂种?)

插值查找法 Interpolation Search

• 
• 在已知Array A大小的前提下, 假设A中的数据呈线性排列
• 用比例推测所查找值 K, 可能存在的Index I
  I = I_low + (I_upper - I_low)(K - K_low) / (K_upper - K_low)
• 如果A中的数据分布比较平均, 此法效率比BS高
• 否则相反
• 更详细的解释, 可参考: 【演算】內插搜尋法 - Interpolation Search

Gallop Search

• 先推测出K所在的范围, 然后执行BS
• 适用于数据量大的搜索. 通过减小BS的搜索范围, 优化性能.

跳跃列表 Skip Lists (我觉得最有意思的数据结构)

• 整个表以多层表的形式出现, 每层均包含"极小"和"极大"两个item
• 每个item拥有一个随机的height值
• 最顶层只包含两个极值, 层数越低, 包含的item越多, 直到底层.
• Search方式
  • 从顶层起
  • 如果该层中的下一项item大于K, 则落入下一层
  • 否则继续在该层向后查找
• 

针对访问概率进行的优化

自排序搜索 Self-Organizing Search

• 如果我们知道某一系列数据中, 每一个item可能被访问的概率
• 依照每一项的概率对数据进行排序, 优化高概率item的访问效率
• 如果不知道可能的访问概率, 则需要...

动态排序 Dynamic Ordering

• 方法一: Move-To-Front(MTF)
  
  • 将每次搜索到的item移到最前
  • 近期内再搜索此item的时候, 效率会提高
• 方法二: Transpose
  
  • 将每次搜索到的item与其前一项互换
  • 多次访问同一item以后, 该item的排序会提前很多, 访问效率会提高