在我总结这个Module之前允许我吐槽一下...`

Assignment 5, 泥玛那个是什么脑残傻缺的ADT啊`! 放着Slide里这么好的三种ADT你不用啊`!!! 你跑去弄什么x-min-heap外加y-BST, 还弄个好听的名字叫Heap-tree`!!! 泥玛就是个残废啊`有木有有木有~!!! 不光残废啊, 是连TA自己都搞不懂到底该怎么用啊`!!! 连"You can slightly break the heap proerty"都说出来了...这种东西随便写写就让他过去吧`!!!!! 以后做工程真的用, 程序怎么死的都不知道啊`!!!

我们日常生活中的很多数据并不是一对一的KVP (不懂KVP的请去看, 总结四 - BST篇).
拿Slide里的例子来说, 买一台电脑, 不光要看它的CPU是什么型号, 还要看内存多大, 硬盘多大, 显卡怎么样, 价钱多少, etc. 这样的数据都是一个key对多个value.

这种情况下, 如果我需要找一台CPU 2.2GHz以上+内存4G-8G的电脑, 就需要从我的data中进行Range Search Query, 而且是2D的Range Search. 如果我在这个条件上再+要至少3T硬盘存xx...那就是3D的Range Search了.

Quadtree

1. 将所有数据放在一个平面空间里 (咱们想象力能及的只有2D和3D空间, 这里以2D举例)
2. 将整个平面以对边中点的连线为基准, 切两刀分成四份 (3D空间的话, 需要多切一刀...)
3. 针对每一个切出来的平面重复上一步, 直到这个平面内只有一个item为止

• Search和BST一样, 不解释
• Insert就一个规则, 只要不是单身汉, 别管他3p还是5p, 都要给他们拆散! 直到新item有单间为止
• Delete就是insert相反, 先把item赶走, 然后把单间拆掉
• 优点: 简单, 拆两半两半两半再两半就ok了; 对higher dimensions也很容易implementl;
• 缺点: 占用空间大; 如果数据分布不平均, Tree就会unbalanced, height就会变得很恐怖;

Kd-tree

1. 将item以x-coordinate排序, 画一条过median点的纵线(vertical) (同样以2D举例)
2. 对第1步切分出来的两个平面, 分别以y-coordinate排序, 然后过median画一条横线(horizontal)
3. 对第2步切分出来的平面(们)...重复第一步
4. 如果某一步切分出的某个平面内只有一个item, 则停止.

• 此法解决了Quadtree会unbalanced的问题, 其他一样.
• 与Quadtree相同, 所有item都只存在于leaf中

Range Tree

1. 以x-coordinate为基准建立balanced BST T (同样以2D举例)
2. 针对T中的每一个node v_i, 用v_i及其所有children建立以y-coordinate为基准的T_assoc(v_i)
3. 将v_i链接到T_assoc(v_i)

• 也就是说, Range Tree第一层的每一个subtree背后, 都有一个以y-coordinate排序的另一个BST
• 如果是higher dimensions的话, 则要多几层associated BST嵌套
• Search
  
  • 用x-coordinate进行BST Search
  • 对所有inside node的顶部(root of the subtree)的T_assoc, 执行y-coordinate的BST Search
  • 对所有不确定的边缘node (卡在指定range的边上), 逐一进行单独判断
• Insert
  
  • 依照x-coordinate进行BST insertion
  • 从最终insert的位置, travel回root. 并将item insert到途经的所有node的T_assoc中
• Delete和Insert相反
• 缺点: balance难度较大.

各种Binary Search的变种 (杂种?)

插值查找法 Interpolation Search

• 
• 在已知Array A大小的前提下, 假设A中的数据呈线性排列
• 用比例推测所查找值 K, 可能存在的Index I
  I = I_low + (I_upper - I_low)(K - K_low) / (K_upper - K_low)
• 如果A中的数据分布比较平均, 此法效率比BS高
• 否则相反
• 更详细的解释, 可参考: 【演算】內插搜尋法 - Interpolation Search

Gallop Search

• 先推测出K所在的范围, 然后执行BS
• 适用于数据量大的搜索. 通过减小BS的搜索范围, 优化性能.

跳跃列表 Skip Lists (我觉得最有意思的数据结构)

• 整个表以多层表的形式出现, 每层均包含"极小"和"极大"两个item
• 每个item拥有一个随机的height值
• 最顶层只包含两个极值, 层数越低, 包含的item越多, 直到底层.
• Search方式
  • 从顶层起
  • 如果该层中的下一项item大于K, 则落入下一层
  • 否则继续在该层向后查找
• 

针对访问概率进行的优化

自排序搜索 Self-Organizing Search

• 如果我们知道某一系列数据中, 每一个item可能被访问的概率
• 依照每一项的概率对数据进行排序, 优化高概率item的访问效率
• 如果不知道可能的访问概率, 则需要...

动态排序 Dynamic Ordering

• 方法一: Move-To-Front(MTF)
  
  • 将每次搜索到的item移到最前
  • 近期内再搜索此item的时候, 效率会提高
• 方法二: Transpose
  
  • 将每次搜索到的item与其前一项互换
  • 多次访问同一item以后, 该item的排序会提前很多, 访问效率会提高

Direct Addressing

• key和地址直接对应
• 与Counting Sort同理
• Runtime: Θ(1), Space: Θ(n)
• 浪费空间, 且只能用于int

Hashing

Hash Function

• 将key经过function运算以后, 得到对应的hash value
• Hash function的好坏决定于数据的性质, 不同的数据适用不同的function
• 好的Hash funtion, 高效, 与数据规律无关联, 依赖于key的所有部分

冲突解决方案(Collision Resolution)
Basic concept:

• Buckets: 多个item共存
• Open Addressing: 一个item对应多个位置
• Load Balance: α = n/M (n: item数量, M: hash table大小)

方案一: Chaining (Buckets)

• 将新的item放入对应位置, 并link到原来位置所存放的item
• 缺点: 大量数据会导致大量重复, 效率降低

方案二: Linear Probing

• 如果要insert的位置非空, 则将item放入下一个位置. 重复这一条直到insert成功/回到原位置(insert失败)
• 某个item被delete以后, 该位置须标记为deleted, 不能再使用
• 缺点: 大量数据后会有明显的效率降低, deleted以后会有空间浪费, 增加M以后rehash可以解决部分问题, 但cost很高.

方案三: Double Hashing

• 在Linear Probing基础上增加一个与h1独立的functions h2.
• 如果要insert的位置非空, hash value = [原hash value + h2(k)] % M. 重复这一条直到insert成功/回到原位置(insert失败)
• 缺点: 与Linear Probing相同, 只是increment由1变为了h2的结果, 所以降低了第二次insert的失败概率.

方案四: Cuckoo Hasing

1. 有两个相互独立的hash functions, h1和h2
2. 将item insert到h1(k)中
3. 如果原来h1(k)的位置并不为空, 将原item重新insert到与h1(k)值不同的hash value中去
4. 如出现loop的情况, insert失败, rehash

• 优点: iterm只能出现在h1(k)或者h2(k)中, search效率高.

AVL Tree性质:

• BST基础性质
• 左侧和右侧subtree的height最多差1
• 空白Tree的高度为-1
• Search, Insert, Delete Runtime均为Θ(log n)

AVL Insertion:

1. 执行标准BST Insertion
2. 从新insert的leaf开始, 从下往上更新balance factor(左右高度差)
3. 如发现高度差超过1(即为2), 则执行fix

AVL Fix: 修复高度差为2的subtree

• Single rotation: 当height最高的leaf位于最左侧/最右侧
  
  • 将subtree的root Z向height较低的方向旋转, 即以height较高的child Y为root
  • Y原内侧child, 并入Z内侧
  
  
• Double rotation: 当height最高的leaf位于Tree内侧
  
  • 将height较高的root child向外侧旋转, 将Tree变形为Single rotation的初始形式
  • 执行Single rotation
  
  

2-3 Tree性质:

• BST基础性质
• 每个node包含一个KVP*和两个children, 或者包含两个KVP和三个children.
• 所有leaf都在同一层(level)

2-3 Tree Insertion:

1. 找到KVP应在的leaf (BST规则)
2. 如果该leaf已经饱和 (已经包含两个KVP), 则将3个KVP排序a < b < c.
3. 将a和c分割成两个单独的leaf, 并将b插入到parent中.
4. 重复第2步直到符合2-3 Tree所有性质

2-3 Tree Deletion: 删除x

1. 如果x所在的node有两个KVP, 则直接删除x
2. 如果同parent下, 与该node相邻的child有两个KVP, 则用node与child之间的parent替代x, 并用中间值替代parent
3. 否则 (同parent下, node相邻child均只有一个KVP), 将相邻child与parent(中间值)合并. 重复直到Tree符合要求.

B-Tree性质:

• 扩展版的2-3 Tree
• 每个node包含最多2d个KVP
• 非root的node最少包含d个KVP
• 2-3 Tree的d = 1

Insertion和Deletion与2-3 Tree大同小异

注: 此B-Tree定义不完全符合11W Slide

Comparison-based sorting

最优Runtime为Ω(n log n)

QuickSelect

用QuickSort algorithm快速查找第k大的数 (avg rumtime: Θ(n))

组成函数

• choose-pivot(A) 在数据中选择其中一个作为pivot
• partition(A, p) 使用A[p]作为pivot, 将A中的数据分为
  
  
  • 所有小于等于pivot的数据
  • pivot本身
  • 所有大于pivot的数据

Implementation

下载: quickselect.cc

void swap(int *A, int i, int j){ 
    int temp; 
    temp = A[i]; 
    A[i] = A[j]; 
    A[j] = temp; 
    return; 
}

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